2008 年河北预赛 · 第 13 题

解答

因 $a\ne b$，原式可约去 $a-b$，得 $a^2+ab+b^2=a+b$。设 $s=a+b>0$、$p=ab>0$，则 $p=s^2-s$，所以 $s>1$。互异性又要求

故 $s<4/3$。函数 $s(s-1)$ 在 $(1,4/3)$ 严格递增，因而 $0<p<4/9$，即 $0<c=9p<4$。整数候选只有1、2、3。 反过来，对每个 $c\in \{1,2,3\}$，取 $p=c/9$，令 $s=(1+\sqrt{1+4p})/2$，则 $1<s<4/3$。方程 $u^2-su+p=0$ 有两个不同正根，将它们取作 $a,b$；其和为 $s$、积为 $p=s^2-s$，所以原等式及 $c=9ab$ 都成立。故全部整数为 $\boxed{c\in \{1,2,3\}}$。