2025 年福建预赛

思路

切线—弦角定理的逆命题可用于判定切线。共圆追角若遇到点位于直线延长线，宜按模 $180^{\circ }$ 的有向角理解，避免把补角误作相等的普通角。

想法从哪来：先把目标切线改成一个可传递的角等式：只需证明候选线与某条弦所成角等于同弧圆周角。题里已有一条平行线和交点连线，适合再补一条与给定角边平行的线，将原角条件搬到候选切线附近。 过新交点作平行线后，两个以原直线交点为顶点的三角形给出相同缩放比，所以能连成一组相似；给定角与原四边形共圆又提供第二组相似。两组相似串接，就会在新构造中形成一对同弦角，得到另一个小四边形共圆，最终把目标角转移到候选切线上。辅助线的目的正是把比例相似转成角度共圆，不能只凭示意图猜切线。

目标切线判定可化为 $\angle CBM=\angle CAB$。过 $M$ 作已知方向的平行线， 先借助两组平行线建立一个相似三角形，再与题设角条件产生的相似三角形串联， 构造一个四点共圆关系来传递角度。