2010 年天津预赛 · 第 11 题

解答

（1）图中直线方向之间的角是三十六度的整数倍，所以每个非退化三角形的三个内角也是正的三十六度倍数，和为一百八十度，只能为 $(36^{\circ },36^{\circ },108^{\circ })$ 或 $(36^{\circ },72^{\circ },72^{\circ })$，均为非正三角形的等腰三角形，顶角唯一。 逐顶角列出已画底边对应的另两顶点，可得下表；正五边形对角线的相似分割或直接比较沿各画线的角即可核表，未画的内点对角线不计：

前五行各五个、后五行各两个，由顶角唯一无重计，故 $\boxed{|M|=35}$。 （2）外五点中任意三点所连三角形都在图中且为等腰三角形。两色染外五点，至少三点同色，所以 $\boxed{\text{一定存在}}$。 （3）任取六个红点。若外五点至少有三个红点，已得结论。若只有一个外点红，另五个内点全红，以该外点为顶点的尖部小三角形如 $AFG$ 全红。若有两个外点和四个内点红，按旋转反射只须看相邻外点 $A,B$ 或非相邻 $A,C$。前者与 $F,G,H$ 分别组成 $ABF,ABG,ABH$，若都避免，四个内红点只能放在 $I,J$，不可能。后者 $ACJ$ 迫 $J$ 非红，但余下四内点 $F,G,H,I$ 必全红，又有全红 $AFG$。零个外红点无法凑足六点。因此六点总能；而只将五个内点染红时，其已画连接仅为一个五边形，没有三角形。所以最小 $\boxed{n=6}$。