2011 年陕西预赛 · 第 3 题

解答

记 $U=1-\sin \theta +\cos \theta$，$V=1-\sin \theta -\cos \theta$，原式要求 $UV\ne 0$。等式 $U/V+V/U=2$ 等价于 $(U-V{)}^2=0$，所以 $\cos \theta =0$。若 $\sin \theta =1$，则 $U=V=0$，是原式禁点；若 $\sin \theta =-1$，则 $U=V=2$，确实满足。因此全部解为 $\theta =-\pi /2+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。其中负解要求 $k\le 0$，最大负角为 $\boxed{-\pi /2}$。