培玉 · 一试

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2025 年福建预赛

数码和方程的全部正整数解

F2填空题数论

对正整数 $n$ ，记 $S (n)$ 为 $n$ 的各位数码之和，如 $S (3) = 3$ ， $S (23) = 2 + 3 = 5$ 。则满足

n + S (n) = 2025

的所有正整数 $n$ 的和是。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

用数码和上界给出短区间，再用模9筛出三候选并逐个代入，路线明确且分类很少。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：剩余类、幂周期与局部排除、数位、进位与位数估计

专题卡：选模、剩余类与局部排除、位值展开与数位约束