同一骨架 2013 年湖北预赛 第 7 题 · P009358
两题都先把选出的数按递增排列，使用首项和步进参数唯一编码，再按参数分层数首项的整数范围。
等比题的末项界带公比平方；等差题的末项界线性，且问数列时还要核对反向是否另算。
培玉 · 一试
2025 年云南预赛
整数公比严格递增等比数列计数
F2填空题排列组合
从 至 的自然数中任取 个数，构成以整数为公比的严格递增等比数列，则共有种取法。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
严格递增使三个数的次序唯一。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
把它们写成 ，其中整数公比 ；固定 后，首项的个数就是一个取整值。
解答
设三个数依次为
其中 、整数 。由 知 。对固定的 ，首项共有 种，因此总数为
复核
每一组严格递增的三个数都按从小到大唯一确定 与 ，不同的 不会重复计数。 时仅有 ，而 时已经有 ，端点完整。
方法总结
整数公比的有限区间等比数列计数，可先用单调性固定标准次序，再按公比分层；最大公比由末项界确定，每层首项数由取整函数给出。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
按整数公比r直接表示三数，最大项限制r不超过13，逐个数首项即可。
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同一骨架 2024 年江西预赛 · P006548
两题都先把整数对象写成唯一确定的标准参数形式，再按幂指数类别或公比分层，由最大元素的界限定其余参数的整数范围。取整端点与不同参数是否生成同一对象，是从代数关系走到准确计数的关键。
对数题先解出有限种幂指数并检查类别是否相交；等比题先固定递增顺序，再按公比分层数首项。
已记下，谢谢！