2011 年河北预赛 · 第 5 题

解答

令 $d_n=a_{n+1}-a_n$，则 $d_{n+1}=(n+2)d_n$，且 $d_1=2$，故 $d_n=(n+1)!$，于是

算得 $a_3=9,a_4=33,a_5=153$。当 $j\ge 6$ 时，$j!$ 含因子 $3\cdot 6$，因此被 $9$ 整除。由 $a_5$ 被 $9$ 整除可知所有 $a_m$（$m\ge 5$）均被 $9$ 整除；而 $a_4=33$ 不被 $9$ 整除，所以最小的 $n$ 为 $\boxed{5}$。