2021 年贵州预赛

解答

记 $L=\ln 2021$。先考察 $x>0$，方程为

根只能位于 $[1/2021,2021]$。在 $(0,1]$ 上左边为正而右边非正或较小，故没有根； 在 $(1,\pi )$ 内恰有一个根。事实上，在 $[1,\pi /2]$ 上 $\sin x>1/2>{\log }_{2021}(\pi /2)$，而在 $[\pi /2,\pi ]$ 上左边严格递减、右边严格递增。

对 $k=1,2,\dots ,321$，区间

完整落在 $(1,2021)$ 内。区间两端的 $\sin x-\ln x/L$ 为负，中点处为 $1-{\log }_{2021}x>0$，故每个区间至少有两个根。 在下降半波上差函数严格递减；在上升半波上，令 $u=x-2k\pi$，则其导数的符号由 $(2k\pi +u)\cos u-1/L$ 决定。这个函数的导数严格递减，且它从大于 $1/L$ 变到 $0$， 所以差函数先增后减，只能与零相交一次。故每个正半波恰有两个根。 又 $643\pi <2021<644\pi$，末段正弦为负，不能再有根。因此正半轴共有

个根。

再令 $x=-t<0$。方程化为

在 $[1/2021,1]$ 上，两边之差严格递减且端点异号，故恰有一个根。 对 $k=1,\dots ,321$，每个完整负半波 $((2k-1)\pi ,2k\pi )$ 同理恰有两个根。剩余区间 $(643\pi ,2021]$ 内， 写 $t=643\pi +u$；由 $0<u<0.958$ 可得 $-\sin t=\sin u<0.958$，而 ${\log }_{2021}t>{\log }_{2021}2020>0.9999$，故无根。负半轴也有 $643$ 个根。

所以交点总数为 $643+643=\boxed{1286}$，选 $\boxed{\text{C}}$。