2016 年湖北预赛 · 第 13 题

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试着想起：2008 年河北预赛第 15 题 · P009864

设向量 $i, j$ 分别为直角坐标平面内 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向上的单位向量。若

a = (x + 2) i + y j, b = (x - 2) i + y j,

且 $∣ a ∣ - ∣ b ∣ = 2$ 。

(1)
求满足上述条件的点 $P (x, y)$ 的轨迹方程；
(2)
设 $A (- 1, 0)$ 、 $F (2, 0)$ ，问：是否存在常数 $λ$ （ $λ > 0$ ），使得 $∠ PF A = λ ∠ P A F$ 恒成立？证明你的结论。

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思路

三角形外接圆半径公式为 $R = ab c / (4 S)$ ，由正弦定理和面积公式可得。两点连线的垂直平分线上各点到这两点等距。

想法从哪来：距离乘积容易使人先写切点坐标，但两条切线共同经过P，更直接的目标是把它们变成同一个圆的半径条件。由抛物线的焦点准线定义，从切点向准线作垂足：切点到焦点和垂足等距，切线又是这两个点连线的垂直平分线，于是P到焦点及两个垂足等距。这样P就是一个新三角形的外心，面积的两种表达自然联系外接圆半径和两条边的乘积。第二问再利用第一问给出的边比寻找相似。外点可能在准线两侧，投影须带符号；直接把所有投影当正长度，会误判夹角的锐钝。

用准线垂足将切线关系转化为外心条件；由外接圆半径公式求距离乘积，再用余弦比较与相似证明角相等。带符号投影可统一覆盖外点位于准线两侧的情形。

解答

记抛物线的准线为 $l$ ，焦点 $F$ 到 $l$ 的距离为 $d = p > 0$ 。从 $M, N, F, P$ 向 $l$ 分别作垂线，垂足依次为 $U, V, E, H$ 。抛物线的焦点--准线定义给出 $MF = M U$ 、 $NF = N V$ 。而且 $M, N$ 均在 $l$ 的焦点一侧：若在另一侧或在 $l$ 上，点到焦点的距离严格大于点到准线的距离。

先说明切线的几何性质。 $F U$ 的垂直平分线经过 $M$ 。对抛物线上任一点 $X$ ，有 $XF = dist (X, l) \leq X U$ ，故整条抛物线都在这条垂直平分线的焦点一侧。等号成立须有 $X U ⊥ l$ ，即 $X$ 在直线 $M U$ 上。设 $a = M U = MF > 0$ 。由直角投影与勾股定理，

M F^{2} = E U^{2} + (a - d)^{2} = a^{2}, F U^{2} = E U^{2} + d^{2} = 2 d a . (*)

这也说明垂直于 $l$ 的同一直线上只有一个抛物线点，因 $a = F U^{2} / (2 d)$ 唯一确定。所以该垂直平分线仅在 $M$ 接触抛物线，正是 $M$ 处的支撑切线 $PM$ 。同理， $PN$ 是 $F V$ 的垂直平分线。因此

PF = P U = P V =: R > 0.

其中 $R > 0$ ，因为 $F \neq = U$ ，其垂直平分线不经过 $F$ ，从而 $P \neq = F$ 。上面的唯一性还说明 $M \neq = N$ 蕴涵 $U \neq = V$ 。由于 $F \in / l$ ， $△ F U V$ 非退化，且 $P$ 是其外心。

(1) 对 $N$ 同样应用 (*)，得到

F U^{2} = 2 d MF, F V^{2} = 2 d NF .

这些式子也适用于顶点切点：此时 $E = U$ 或 $E = V$ ，对应的投影长度为零， (*) 仍是成立的距离恒等式，不需要把 $FM U$ 或 $FN V$ 当作非退化三角形。用 $[F U V]$ 表示三角形面积，由高和外接圆半径的面积公式，

[F U V] = \frac{d U V}{2} = \frac{F U \cdot F V \cdot U V}{4 R} .

因 $U V > 0$ ，可约去 $U V$ ，得 $R = F U \cdot F V / (2 d)$ 。于是

P F^{2} = R^{2} = \frac{F U ^{2} F V ^{2}}{4 d ^{2}} = MF \cdot NF .

(2) 设 $a = MF = M U$ 、 $b = NF = N V$ ，以从 $l$ 指向焦点一侧为正方向，记 $P$ 到 $l$ 的带符号距离为 $h$ 。注意 $P H = ∣ h ∣$ ， $h$ 可为正、零或负。沿 $l$ 及其垂直方向投影，得

P U^{2} P V^{2} = H U^{2} + h^{2}, = H V^{2} + h^{2}, P M^{2} P N^{2} = H U^{2} + (a - h)^{2} = R^{2} + a^{2} - 2 ha, = H V^{2} + (b - h)^{2} = R^{2} + b^{2} - 2 hb .

两条不同切线使 $P \neq = M, N$ ，且焦点不在任一切线上，故 $△ PFM$ 与 $△ PFN$ 都非退化。由余弦定理，

cos ∠ PFM = \frac{R ^{2} + a ^{2} - P M ^{2}}{2 R a} = \frac{h}{R}, cos ∠ PFN = \frac{R ^{2} + b ^{2} - P N ^{2}}{2 R b} = \frac{h}{R} .

两角都是 $(0, π)$ 内的普通角，余弦在此区间单调，故 $∠ PFM = ∠ PFN$ ；这里并未把钝角换成锐角，也未使用有向角。再由 (1) 得 $a / R = R / b$ ，所以两边成比例且夹角相等， $△ MFP \sim △ PFN$ ，对应顶点为 $M \leftrightarrow P$ 、 $F \leftrightarrow F$ 、 $P \leftrightarrow N$ 。因此

∠ PMF = ∠ FPN .

复核与方法总结

核验与总结

两条不同实切线保证 $P \neq = M, N$ ；抛物线切线不通过焦点，故相关三角形非退化、所有焦距为正。 $P$ 位于抛物线对称轴上时两个切点横坐标相同但切点不同，不能因横坐标重根删去该构型。切点对称式控制距离乘积，再用数量积得到可供相似使用的同一角。

复核与方法总结

垂足构造把两条切线变成同一圆的外心条件，面积公式再把圆半径转为焦距乘积；第二问在此基础上比较普通角的余弦并建立相似。顶点切点、外点在准线另一侧及 $h = 0$ 均已由同一距离恒等式覆盖；图示为一般位置，不能据图限制这些情形。

2016 年湖北预赛 · 第 13 题

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