培玉 · 一试
一试训练题
F3填空题函数综合
函数 满足 ，且对任意 均有 ，。则 的值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把长步长的增量拆成三段短步长增量，先比较两侧给出的总界是否相同。
思路
若总差额为零且每段差额非负，就能迫使每段取等；之后只沿要求的等距输入序列累加，不必求出全实轴上的函数。
解答
把短步长上界分别用于 ，相加得
这与已知的长步长下界重合，所以等号成立。定义 ，于是 ，三个非负数都为0，特别有
因 ，沿 累加，
所以所求为 。
复核
函数 能使两条增量条件同时取等，证明条件并不矛盾；在2025处也给出相同结果。事实上还可加一个在0为零的5周期函数，所有条件不变，因此只能说所需网格上的值被确定，不能声称全实轴函数唯一。
方法总结
两个尺度的增量上下界完全吻合时，应先写出各段非负差额，利用和为零逐段迫等。指定网格上的递推可以唯一确定所问值，却未必唯一决定整个函数；不要把离散确定性扩大成全域解析式。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
识别两种步长的可加性，并从总和取等推出每项取等。
已记下，谢谢！