2013 年中科大少年班初试 · 第 6 题

解答

若任意两数有共同素因子 $p$，则三个因子 $xy-1,yz-1,zx-1$ 模 $p$ 都为负一，乘积不被 $p$ 整除，与条件矛盾。所以三数两两互素。 展开并取模得

不妨 $2\le x<y<z$。若 $x\ge 3$，则 $0<(xy+yz+zx-1)/(xyz)<1/3+1/4+1/5<1$，不可能为整数。故 $x=2$，互素性给 $y\ge 3,z\ge 5$。此时

相应正商至多一，必须恰为一，于是 $(y-2)(z-2)=3$，结合顺序得 $y=3,z=5$。原式对称，故全部解为 $\boxed{(2,3,5)\text{ 的六个排列}}$。