2012 年河北预赛（高二卷） · 第 6 题

解答

圆心 $C=(0,1)$，半径一。对有两条切线的外点 $P$，切线长为 $\sqrt{P{C}^2-1}$，四边形面积等于两个直角三角形面积之和，即 $\sqrt{P{C}^2-1}$。圆心到直线的距离为 $d=5/\sqrt{k^2+1}$。若 $d\le 1$，直线上合法外点能使切线面积趋近零，不能有最小值二。因此 $d>1$，最近的外点是垂足，最小面积为 $\sqrt{d^2-1}$。令它为二，得 $25/(k^2+1)=5$；由 $k>0$，得到 $\boxed{k=2}$。