易混 2009 年黑龙江预赛 第 5 题 · P009365
两题都由一次不等式围出三角形区域，但必须先辨认对象是整数格点还是连续位置。前者需要处理边界和每列的整数点数，互素性会控制边界；后者的机会由面积衡量，不能把面积直接当作格点个数。
相似的平面区域，在离散与连续模型中需要不同的计量方式。
培玉 · 一试
2023 年北京预赛
F3填空题数论
已知 为正整数，，且 互质。若关于 的不等式
有且仅有 组正整数解，则 。（求出满足题意的所有可能数组）
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先用互素条件精确计算直线下方的正整数格点数，再把计数条件化成 的因数分解。
解答
固定 。因 ， 不是整数，可取的正整数 的个数为
又 模 在 时遍历 ，故
因此正整数解总数为
题设等价于
因 ，全部因数对为
把各对分别加 ，并保留互素者，得到
复核
另外两对给出 与 ，最大公因数均为 ，确应排除；六组因数对穷尽 的情形。
方法总结
互素系数的一次不等式格点计数，核心是乘法在模 的非零剩余类上构成排列；计数式随后转为因数分解和互素筛选。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先利用互素性准确求格点数为(a-1)(b-1)/2，再枚举因数对并重新筛选互素条件。
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