2024 年中科大少年班营一 · 第 5 题

解答

可行的项数必有 $n\ge 2$：$n=1$ 时要求一个单位数等于 $-1+i$，不可能。设 $a=n-2,m=n-1,S=a+i$。任取一项 $z=x+iy$，有 $|S-z|\le m$。由 $x^2+y^2=1$ 展开得 $ax+y\ge 1/2-a$。在单位圆上 $y\le \sqrt{1-x^2}$，函数 $g(x)=ax+\sqrt{1-x^2}$ 在 $[-1,0]$ 严格递增，而 $g(-1)=-a<1/2-a<g(0)$。因此最小可行横坐标是直线 $ax+y=1/2-a$ 与上半单位圆的左交点。令 $u=x+1$，则 $y=1/2-au$，代入单位圆得 $(a^2+1)u^2-(a+2)u+1/4=0$。取小根并有理化，得 $u_0=1/[2(n+\sqrt{4n-5})]$，故每项实部均不小于 $x_0=-1+u_0$。现在取 $z_1=x_0+i(1/2-a{u}_0)$，其余各项均取 $w=(S-z_1)/m$。交点条件保证 $|z_1|=|w|=1$，总和为 $S$；且 $\Re w=1-u_0/(n-1)>0>x_0$。因此所求确为 $\boxed{-1+\frac{1}{2(n+\sqrt{4n-5})}}$。