培玉 · 一试
2022 年中科大少年班复试 · 第 4 题
F3解答题概率
有90位学生参加面试，学生来自三校，其中校20人，校30人，校40人。面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽取一位，面试完毕后再进行下一位。求校学生先于其他两校学生全部完成面试的概率。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
随机逐人抽取等价于九十名不同学生的均匀随机排列。
思路
各校完成时间是该校最后一人的位置，可用“甲校比某校晚完成”的两个事件作容斥。
解答
设 分别为三校最后一名学生在完整排列中的位置，三者互不相等。 校最先完成的事件是 且 。
只看 两校五十人的相对顺序，每人等可能处于最后，故
同理 。而两事件同时发生，等价于全部九十人的末位学生来自 校，概率为 。因此所求为
复核
两两完成次序不是独立事件，所以不能把 与 直接相乘。若改看随机排列的逆序， 校最早完成等价于先遇到的校别中 最迟首次出现，仍可用同样的两个补事件及其交集得到该式。
方法总结
不放回随机处理的过程可预先补为均匀排列。各类全部完成的先后，取决于各类最后出现位置；比较多个类别时用容斥处理依赖。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
独立把先完成反看为末次出现次序，条件于最后类别后再做两类相对排列；不覆盖原随机机制未显写。
已记下，谢谢！