2026 年重庆预赛

思路

证明带根式不等式时，平方前须确认两边非负；本题面积在非顶点的右支上严格为正。二次式首项系数正且判别式负，可用配方说明它处处为正。

想法从哪来：数量积和面积同时出现时，先利用投影方向选坐标，而不急着套双曲线的距离公式。投影点与动点同高，数量积只涉及横坐标；面积的底也水平，剩下的高度可由曲线方程替换。因此上下两半支实际给出同一单变量问题。 先在横坐标取焦点横坐标处试算，能找到一个很自然的候选等号点；这只是猜测，还要证明全局下界。分母反复出现“横坐标减投影直线横坐标”，据此平移变量，使候选点对应简单常数。交叉相乘后平方，尝试提出等号点对应的平方因子，再验证余下因子恒正，就完成从猜测到证明。

用 $P$ 的横坐标表示数量积和面积后，问题成为单变量根式不等式。平移 $u=x-\sqrt{2}$ 可使等号点和因式分解同时显现。