培玉 · 一试

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2018 年河北预赛（高三卷） · 第 10 题

F2解答题递推数列

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ 。记 $S_{n} = \frac{1}{( 1 + a _{1} ) ( 1 + a _{2} ) \dots ( 1 + a _{n} )}$ ， $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + a _{k}}$ ，求 $S_{n} + T_{n}$ 的值。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

需分别识别连乘和求和的相邻项消去结构，再统一末项抵消。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：裂项相消

专题卡：前缀作差找递推，长和只留首尾