垫脚石(此题 → 相关题) 2026 年全国高中数学联赛一试(A 卷) 第 6 题 · P008962
先把模看成非负实辅助量,比较实部和虚部后再平方,并把辅助量的符号带回原式检验;嵌套的模可以重复这套流程逐层拆开。
前题只有一层模与一个平方步骤;后题外层模又产生一个非负量,需要连续消元,并逐层检查平方后的候选是否真的满足原模等式。
已知复数 满足 ,则 。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
模长是非负实数,先比较虚部,再用模平方消去根式。
平方所得横坐标要回到原式验证。
设 ,。由 ,得到 、。所以
化简得 。此时 ,因此
所求复数的模为 ,所以 。由于平方前要求 ,而所求 符合该要求,解没有被平方过程扩大。
复数与其模的和已知时,虚部立即确定;实部与非负模的关系再平方,最后核原等式及符号条件。
将复数与非负模长分开后,虚部可直接确定,实部需用模平方消元;平方前的符号限制和回代原等式是排除增解的关键。
垫脚石(此题 → 相关题) 2026 年全国高中数学联赛一试(A 卷) 第 6 题 · P008962
先把模看成非负实辅助量,比较实部和虚部后再平方,并把辅助量的符号带回原式检验;嵌套的模可以重复这套流程逐层拆开。
前题只有一层模与一个平方步骤;后题外层模又产生一个非负量,需要连续消元,并逐层检查平方后的候选是否真的满足原模等式。
已记下,谢谢!