2011 年湖北预赛 · 第 5 题

解答

先由已知模长控制倒数的模，再分别检查上下界取等。 因 $|z|=2$，有 $z\ne 0$ 且 $|1/z|=1/2$。 由三角不等式及反三角不等式，

当 $z=2$ 或 $z=-2$ 时达到下界 $3/2$；当 $z=2\mathrm{i}$ 或 $z=-2\mathrm{i}$ 时达到上界 $5/2$。 所以最小值与最大值的和为 $\boxed{3/2+5/2=4}$。 只用复数模的代数不等式，没有引入几何构图或假定两处等号在同一个 $z$ 上同时成立。