2008 年山西预赛 · 第 14 题

解答

由直径圆的圆周角，$CE\perp AB$、$BF\perp AC$。取 $E=(0,0),B=(b,0),C=(0,c),A=(a,0)$，其中 $bc\ne 0$。圆方程为 $x^2+y^2-bx-cy=0$，在E处切线为 $bx+cy=0$。令 $L=a^2+c^2>0$，则B在AC上的垂足为

利用F处切线方程 $(2F_x-b)x+(2F_y-c)y=F_x^2+F_y^2$，与E处切线联立，得

另一方面，BF方程为 $y=(a/c)(x-b)$，故它与CE的交点为 $H=(0,-ab/c)$。$P$ 正是AH中点，所以AP、BF、CE共点于H；题设D即H，因此 $\boxed{D,C,E\text{ 共线}}$。