2021 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 3 题

解答

设 $f(1)=u,f(2)=v$。令 $x=1$：$u=u+v-1$，得 $v=1$。令 $x=2$：$v=2u+\frac{v}{2}-1$，即 $1=2u-\frac{1}{2}$，$u=\frac{3}{4}$。于是 $f(x)=\frac{3}{4}x+\frac{1}{x}-1$（$x\ne 0$）。当 $x>0$ 时 $\frac{3}{4}x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$，当且仅当 $\frac{3}{4}x=\frac{1}{x}$，即 $x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 时取等。所以最小值为 $\boxed{\sqrt{3}-1}$。