易混 2011 年河南预赛 第 7 题 · P009855
都是走若干步后回到起点，一题的图有交替的两类顶点，使最后一步之前的位置类别已经确定；另一题不能这样交替，只能追踪回到起点的递推概率。
先检查图的可达性与奇偶结构，可能比直接套状态递推更简洁。
培玉 · 一试
2024 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 4 题
F2填空题概率
一只青蛙在正方形 的四个顶点间跳跃，每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的两个顶点之一，且各次跳跃是独立的。若青蛙第一次跳跃前位于顶点 ，则它第 次跳跃后恰好仍位于顶点 的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
每次只能跳到相邻点，所以顶点组 与 交替出现；只需看最后一步。
解答
从 出发，每跳一步都会在 与 之间转换。 故第5次跳跃后，青蛙必位于 或 。 若位于 ，下一次以 的概率跳到 ；若位于 ，同样以 的概率跳到 。 这两个位置的概率之和为1，因此第6次跳跃后位于 的概率为
复核
此论证适用于从A出发的任意正偶数次跳跃；若跳奇数次则返回A概率为0，六次满足偶数要求。
方法总结
随机过程有交替结构时先确定最后一步之前可能的状态；若每种状态到目标的条件概率相同，无需求完整状态分布。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
按顶点二分组辨认奇偶步位置，第五步必在B或D，最后一步条件概率相同。
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