2016 年湖南预赛 · 第 8 题

解答

设 $\theta =\angle SAB$。由 $S{B}^2=41-40\cos \theta \ge 49$ 得 $\cos \theta \le -1/5$，故 $\sin \theta \le 2\sqrt{6}/5$。于是 $[SAB]=10\sin \theta \le 4\sqrt{6}$。点 $C$ 到平面 $SAB$ 的距离不超过 $BC\le 6$，所以 $V\le \frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{6}\cdot 6=8\sqrt{6}$。取 $SA=4,AB=5,\cos \theta =-1/5$，再从 $B$ 沿平面 $SAB$ 的法线取 $BC=6$。此时 $SB=7$、$AC=\sqrt{61}<8$、$SC=\sqrt{85}>9$，满足全部条件并取得上界。故最大值为 $\boxed{8\sqrt{6}}$。