一试训练题

提示

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想想一道相关的题

先回想这道题的想法，再试试当前题。

思路

六十度斜坐标使用两条夹角六十度的单位基向量；不是直角坐标，长度平方为 $x^{2} + x y + y^{2}$ 。旋转与坐标变换可直接由基向量关系验证。

想法从哪来：先按边长或按横向底边分类，很容易漏掉斜着放的小正三角形。更稳妥的入口是：正三角形的一边一旦确定，第三顶点只有左右旋转两种可能。用六十度斜坐标，旋转后的坐标仍是整数，点阵边界又只是三个一次不等式。为防止同一个三角形被按三条边重复计算，先规定只选方向落在一个半开六十度区间内的那条有向边。随后固定边的两个整数参数，把可平移的位置数化成小三角点阵的点数。最后才把这些计数加总，除以全部三点子集数，共线三点也在分母中。

先为每个正三角形选取唯一的方向代表，防止三条边重复计数。固定这条边后，第三点在两侧的两种旋转都要包含；把各顶点留在大三角点阵中的条件写成整数坐标限制，再分离形状与平移位置。

解答

以相邻点的距离为单位，取夹角为 $6 0^{\circ}$ 的单位向量 $e_{1}, e_{2}$ ，用 $(x, y)$ 表示点 $x e_{1} + y e_{2}$ 。点阵写为

T_{n} = {(x, y) \in Z^{2} : x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq n - 1} .

这里 $n$ 是行数；任取三个不同点要求 $n \geq 2$ 。记点数为 $N = n (n + 1) /2$ ，则所有 $(3 N)$ 个三点子集等可能，包括共线的三点。

正三角形的三条边所在直线的方向，在 $18 0^{\circ}$ 内依次相差 $6 0^{\circ}$ ，所以恰有一条边能按某个方向写成

PQ = a e_{1} + b e_{2}, a \geq 1, b \geq 0,

其中 $a, b$ 为整数。其方向角位于从 $e_{1}$ 起的半开区间 $[0, 6 0^{\circ})$ ；左端包含、右端不包含，使平行于格线的边也只选中一次。因此每个正三角形都对应唯一的有向边 $PQ$ 。

设 $P = (p, q)$ ，则 $Q = (p + a, q + b)$ 。把向量 $(a, b)$ 分别旋转 $6 0^{\circ}$ 和 $- 6 0^{\circ}$ ，得到 $(- b, a + b)$ 和 $(a + b, - a)$ ，故第三个顶点恰有以下两种可能。

(1)
$R = (p - b, q + a + b)$ 。三个顶点同时属于 $T_{n}$ 的充要条件是
$p \geq b, q \geq 0, p + q \leq n - 1 - a - b .$
令 $u = p - b, v = q$ ，条件等价于 $u, v \geq 0$ 且 $u + v \leq n - 1 - a - 2 b$ 。
(2)
$R = (p + a + b, q - a)$ 。三个顶点同时属于 $T_{n}$ 的充要条件是
$p \geq 0, q \geq a, p + q \leq n - 1 - a - b .$
令 $u = p, v = q - a$ ，条件等价于 $u, v \geq 0$ 且 $u + v \leq n - 1 - 2 a - b$ 。

对于正整数 $s < n$ ，非负整数对 $u, v$ 满足 $u + v \leq n - 1 - s$ 的个数为

F (s) = 1 + 2 + \dots + (n - s) = (2 n + 1 - s);

当 $s \geq n$ 时记 $F (s) = 0$ 。于是上述两种三角形的平移位置数分别为 $F (a + 2 b)$ 和 $F (2 a + b)$ 。

固定 $s \geq 1$ ，在 $a \geq 1, b \geq 0$ 下，方程 $a + 2 b = s$ 有 $⌈ s /2 ⌉$ 组解，方程 $2 a + b = s$ 有 $⌊ s /2 ⌋$ 组解，合计 $s$ 组。两种第三顶点处于边 $PQ$ 的两侧，不会重合；加上有向边的唯一选取，所有三角形恰被计数一次。因此正三角形的总数为

E (n) = s = 1 \sum n - 1 s (2 n + 1 - s) = k = 2 \sum n (n + 1 - k) (2 k) = j = 2 \sum n k = 2 \sum j (2 k) = j = 2 \sum n (3 j + 1) = (4 n + 2) .

末两步分别由组合数恒等式 $(r k) = (r + 1 k + 1) - (r + 1 k)$ 求和得到。又因为

(4 n + 2) = \frac{N ( N - 1 )}{6},

所以所求概率为

\frac{E ( n )}{( 3 N )} = \frac{1}{N - 2} = \frac{2}{n ^{2} + n - 4} (n \geq 2) .

复核

$n = 2$ 时只有三个点，概率为1； $n = 3$ 时共有6点，正三角形5个，概率 $5/20 = 1/4$ 。 $n = 4$ 时有10个正放、3个倒放及2个斜置三角形，共15个，占120个三点子集的 $1/8$ 。最后两个斜置的例子检查了方向是否漏数； $n = 1$ 无法选三个不同点，不能使用概率公式。

方法总结

格点图形计数可先固定唯一的半开角方向，再把旋转后的坐标不等式化成平移位置数。形状参数、上下两侧和位置都要穷尽且唯一恢复；古典概型分母仍应包含共线三点，不能先排除它们而改变样本空间。

作答

解析

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