2017 年河北预赛 · 第 7 题

解答

二项式系数为 $a_j=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2017}{j}\right)$。记 $S_1={\sum }_{j\equiv 1(\mathrm{mod}4)}{a}_j$，$S_3={\sum }_{j\equiv 3(\mathrm{mod}4)}{a}_j$。由 $(1+1{)}^{2017}$ 与 $(1-1{)}^{2017}$ 得 $S_1+S_3=2^{2016}$。又

因为 $2017\equiv 1(\mathrm{mod}8)$。所以