同一骨架 2026 年北京预赛 · P005957
两题先把同底指数换成一个正变量，再作整除并平移分母，便出现一个正量与其倒数的和。最值来自同一均值结构，但必须把等号点与平移后的真实范围比较。
系数不同会改变取等位置；二者的平移变量都受严格下界限制，形式上的均值取等不能省去回代。
培玉 · 一试
2024 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 3 题
F2填空题幂指对
函数 的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
令 ，再把分式除开，便出现一对乘积固定的正项。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令 ，则 ，所以
等号成立当且仅当 ，即 。 取 可实现，因此最小值为 。
复核
新变量 ，而等号值 确在此范围内；未将换元后形式上的等号误当作可达。
方法总结
指数底数互为幂时先统一换元；分式除开后使用基本不等式，最后回到指数函数的正值范围。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
以2的x次幂换元后分式拆分成正数与倒数项，检查最优变量落在换元范围。
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