2011 年河北预赛 · 第 13 题

解答

（1）取一个顶点的三棱两两垂直的四面体，三棱长为 $x,y,z$。三个直角面面积为 $A_1=xy/2,A_2=yz/2,A_3=zx/2$；由对面两边向量叉积，斜面面积为 $A_0=\sqrt{x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2}/2$。所以得到三维推广 $\boxed{A_0^2=A_1^2+A_2^2+A_3^2}$。（2）直角三角形两腿为 $x,y$，斜边 $c=\sqrt{x^2+y^2}$。高 $h=xy/c$，内切半径 $r=xy/(x+y+c)$，故 $r/h=1/[1+(x+y)/c]\ge 1/(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$；两腿相等时取等。（3）对（1）的直角四面体，设直角顶点到对面高为 $H$、内切球半径为 $r$。体积给 $H=xyz/(2A_0)$，又以内球心分割体积得 $r=xyz/[2(A_0+A_1+A_2+A_3)]$。因此 $r/H=1/[1+(A_1+A_2+A_3)/A_0]\ge 1/(1+\sqrt{3})$，使用了（1）及柯西不等式。故可推广为 $\boxed{r/H\ge (\sqrt{3}-1)/2}$，当且仅当三条直角棱相等时取等。