垫脚石（此题 → 相关题） 2025 年福建预赛 · P006321
先在已知球半径时练习平面截球的圆心与垂足关系，再把这一结构用于球半径未知的正棱锥。底面三角形的外接圆控制球心到平面的垂直分量，另一个顶点的等距条件继续确定球心。
前题直接比较球半径、截圆半径和球心距离；后题先从二面角恢复锥高，再联立球心到顶点等距。
培玉 · 一试
2024 年浙江预赛
F2填空题立体几何基础知识
已知四面体 的外接球半径为 ，若 ，，则球心到平面 的距离为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
平面截外接球所得圆正是三角形 的外接圆，先求截面圆半径。
解答
由正弦定理， 的外接圆半径为
设球心到平面 的距离为 。球半径为 ，故
于是
复核
位于同一球面截圆上，且距离取非负值，故开方取正根。
方法总结
球面被平面所截时，球半径、截面圆半径和球心到平面的距离构成直角三角形。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
用正弦定理求底面截圆半径，再与球半径组成直角三角形求球心到面距离。
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易混 2026 年江苏预赛 · P006064
两题都有球心到平面的距离，但外接球被平面所截，与内切球和面相切，是不同条件。前者需要把截圆半径和垂直距离配成直角三角形；后者球心到各面的距离本身就是内切半径，可用于总体积分割。
经过顶点不等于与面相切，截圆的圆心也不应被直接当作内切球心。
已记下，谢谢！