2010 年安徽预赛 · 第 6 题

解答

必要性：把三个根依次写成 $r-1,r,r+1$，韦达定理给出 $3r=-a$，故

比较系数得 $b=3r^2-1=a^2/3-1$、$c=-r^3+r=a^3/27-a/3$。 充分性：若这两个等式成立，取实数 $r=-a/3$，直接展开右边就得到原多项式，因此它恰有三个不同实根 $r-1,r,r+1$，构成公差为 $1$ 的等差数列。 所以充分必要条件为 $\boxed{b=a^2/3-1,c=a^3/27-a/3}$。