2026 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 3 题

解答

记 $S_n={\bigcup }_{k=0}^n{A}_k$，可写成

$9$ 始终属于第一个集合。除 $9$ 外，第一个集合中最早可能出现的平方数是 $16$，它从 $n=7$ 起出现；第二个集合只含奇数，其最早的平方数是 $25$，它从 $n=6$ 起出现。故 $1\le n\le 5$ 时只有一个平方数，$n=6$ 时恰有 $9,25$ 两个平方数。$n=7$ 时，第一个集合为 $\{9,\dots ,16\}$，第二个集合为 $\{13,15,\dots ,27\}$，平方数恰为 $9,16,25$。因此所求最小值为 $\boxed{7}$。