2025 年内蒙古预赛

思路

正弦定理给定弦长 $s$ 对圆周角 $\theta$ 的外接圆半径 $s/(2\sin \theta )$。同一弦在一个圆两侧所对圆周角互补，因此不能只用“同圆”代替指定角度的检验。

想法从哪来：差向量可以把起点同时移到第三个向量终点，夹角因此是定弦两端被动点看到的角。先把两个固定向量的长度与点积转成一组方便坐标，它们之间的距离随即固定。再由定圆周角求出外接圆半径，圆心只能在定弦垂直平分线上两个位置。 求第三向量的模，便变成原点到这两个轨迹圆上点的最远距离。对每个圆用圆心距加半径给上界，再比较两者即可。不过定角轨迹只是每个圆上的部分圆弧，整个圆的最远点未必符合角度条件；所以最后必须实际代入候选点，验证差向量非零且夹角正是题设锐角，而不是其补角。

把三个向量的终点看成平面上的点。两条差向量的夹角固定，等价于定弦所对的圆周角固定， 所以点 $C$ 落在两条固定圆弧上；再比较这两个圆上点到原点的最大距离。