2016 年河南预赛 · 第 9 题

解答

令 $a=2^x>0,b=3^y>0$，记 $s=a+b=a^2+b^2$。则 $ab=(s^2-s)/2>0$，所以 $s>1$；又 $s=a^2+b^2\ge s^2/2$，得 $s\le 2$。反过来每个 $1<s\le 2$ 都对应方程 $t^2-st+(s^2-s)/2=0$ 的两个正根（判别式为 $s(2-s)\ge 0$），故此s域完整。于是

该式在 $(1,2]$ 上递增，且当s趋于1时趋于1、s=2时等于2，所以