2018 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 6 题

解答

抛物线 $y^2=2x$ 的准线为 $x=-1/2$，故 $A=(-1/2,0)$。过 $B(-1,0)$ 的竖直线 $x=-1$ 与抛物线没有交点，所以切线可设为

$m=0$ 时直线为 $y=0$，而抛物线顶点的切线为 $x=0$，故 $m\ne 0$。联立直线与抛物线，得

相切要求判别式为零，即 $4-8m^2=0$，所以 $m^2=1/2$，切点为 $K=(1,2m)$。

过 $A$ 的平行线为 $y=m(x+1/2)$。与抛物线联立并代入 $m^2=1/2$，得

它的两个实根为 $(3\pm 2\sqrt{2})/2$，所以 $|x_M-x_N|=2\sqrt{2}$，从而

两平行线 $mx-y+m=0$ 与 $mx-y+m/2=0$ 的距离为

因此