2014 年中科大少年班初试 · 第 4 题

解答

（1）设 $H=f\circ g$，在其实际值域内定义 $K=g^{-1}\circ f^{-1}$。对复合域内任意 $x$，有 $K(H(x))=g^{-1}(g(x))=x$；对 $H$ 值域内任意 $y$，有 $H(K(y))=f(f^{-1}(y))=y$，所以 $\boxed{H^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}}$。 （2）设 $D$ 为 $f$ 的定义域、$R$ 为其实际值域。函数 $F(x)=f(-x)$ 的域为 $-D$、值域为 $R$；而 $f^{-1}$ 的域为 $R$、值域为 $D$。由它们是同一个函数，得 $R=-D$ 且 $D=R$。所以 $D$ 对称，所有下述复合均合法。由 $f^{-1}(-x)=f(x)$，应用 $f$ 得

再比较三重复合，一方面 $f(f(f(x)))=f(-x)$，另一方面将 $f(x)\in D$ 代入前式得它等于 $-f(x)$。故 $\boxed{f(-x)=-f(x)}$，即 $f$ 为奇函数。