培玉 · 一试
2026 年上海预赛
三次曲线根处切线再交点的投影比
F2填空题多项式
函数
与 轴的交点从大到小依次为 。设过 的切线交 的图象 分别于另一点 。则线段 在 上的数量投影 与 的比值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
在一个零点处作切线，曲线减去切线后仍是首项系数为一的三次式，且切点成为二重根。
思路
用根的和便能确定另一交点的横坐标。最后沿给定方向计算数量投影，保留其正负号。
解答
设三个零点的横坐标依次为 ，于是
在 处的切线为 。曲线与这条切线的交点满足
因此另一个交点 的横坐标为 。同理，在 处的切线与曲线的另一交点 的横坐标为 。 所以从 指向 的向量，其横分量为
按数量投影的有向定义，沿 的单位向量为 ，故
而 ，所求比值为
复核
因为 ，有 ；因为 ，有 。所以两个“另一点”确实异于相应切点，且 在最左、 在最右。例取 ，则 ，两切线的另一交点为 。向量 沿负横轴的数量投影为 ，除以 仍为 。若另求无向的投影长度，比值才为 ；长度不带数量投影的方向符号。
方法总结
三次函数在零点处的切线交点，可由二重根与根和直接定位，无需求出全部纵坐标。向量在有向轴上的数量投影是带符号的点积，应与无向投影长度区分。
为什么评为 F2 · 本站估计（会透露解法方向）
零点切线使三次差式出现二重根，根和可直接定位另一交点；再按给定方向计算带符号数量投影，不必解全部纵坐标。
已记下，谢谢！