同一骨架 2026 年云南预赛 · P006117
两题都在消去参数得到平面直角坐标方程后，必须追问“所得普通方程上的点是否都有合法参数对应”。若不把参数存在性条件折算为横纵坐标范围，就会把整条抛物线或整支双曲线误当成真实轨迹。
前题由闭区间上对勾函数的值域将消元所得抛物线截断在对称轴右侧的闭弧段上；后题由动弦中垂线斜率垂直关系消参得到双曲线方程后，还须由弦两端点参数互异的判别式大于零截出受限双曲线弧。
培玉 · 一试
2026 年培玉原创改编高中数学竞赛 · 第 1 题
F2填空题参数方程与极坐标
在平面直角坐标系 中，曲线段 由参数方程
给出。记 上全体点的纵坐标的最大值为 ，最小值为 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
注意到纵坐标表达式中的 可以由横坐标 经完全平方公式表示为 ，从而把曲线转化为关于 的二次函数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
但消去参数后不能直接在全体实数上取二次函数的顶点最值，必须先求参数 时 的真实取值区间，再在该区间上讨论二次函数的单调性。
解答
1. 消去参数建立直角坐标关系： 由 两边平方，得
代入纵坐标表达式，得
2. 反验参数限制下的横坐标定义域： 考察函数 在 上的取值范围。由求导 可知： - 当 时，， 单调递减，从 递减到最小值 ； - 当 时，， 单调递增，从 递增到 。 又 在 上连续，故曲线段 上横坐标 的精确取值区间为
3. 在真实定义域上求纵坐标最值： 二次函数 的对称轴为 ，因此在区间 上严格单调递增： - 当 （对应 ）时， 取得最小值
- 当 （对应 ）时， 取得最大值
因此
复核
逐点代回原参数式复核： - 当 时，，； - 当 时，，； - 当 时，，。 若误把消元后的抛物线当作整条实轴上的二次函数，会误取顶点 处的 ，但对正实数 恒有 ， 无实参数原像。
方法总结
用代数恒等式消去参数 时，新变量 的取值范围是参数区间在 下的像集。务必遵循“先求参数像集确定新变量定义域，再在受限定义域上求最值”的顺序，防止将无参数原像的抛物线顶点误判为可达最值。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
直接消参得到的抛物线顶点横坐标不在参数允许的值域内，须先求对勾函数在闭区间上的精确值域再定最值。
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