2009 年河南预赛 · 第 4 题

解答

按题面 $PAB,PBC,PCA$ 顺序记距离为 $d_1,d_2,d_3$，共同的侧面与底面二面角为 $\delta$。对底面内点，$d_i$ 都是到相应底边距离的 $\sin \delta$ 倍。底面为正三角形，若其高为 $H$，到三底边距离之和恒为 $H$：按点 $M$ 分成三个共底高三角形即可证明。因此 $d_1+d_2+d_3=H\sin \delta$。等差条件 $d_1+d_3=2d_2$ 等价于 $d_2=H\sin \delta /3$，即 $M$ 到 $BC$ 的距离为 $H/3$。于是轨迹是平行于 $BC$ 的闭线段 $UV$，其中 $\boxed{U=(A+2B)/3,V=(A+2C)/3}$；也即 $AU:UB=AV:VC=2:1$。反过来，此线段每点到 $BC$ 距离恰为 $H/3$，三距离和固定，必满足原等差关系，所以整段均可取。