2022 年重庆预赛

解答

设直线为 $y=k(x+\sqrt{2})$。代入双曲线得

记两根为 $x_1,x_2$。当 $|k|>1$ 时两根均为负，对应左支上的两点；竖直线作为极限情形另行保留。

（1）由判别式 $\Delta =4(1+k^2)$，

故

其平方为 $2k^2(1+k^2)/(k^2-1{)}^2$，在 $k^2>1$ 上递减，并趋于 $2$。当直线为 $x=-\sqrt{2}$ 时，交点为 $(-\sqrt{2},\pm 1)$，面积恰为 $\sqrt{2}$。因此

（2）设 $P=(p,0)$。利用

计算得

该式与 $k$ 无关，当且仅当

即 $p=-1/\sqrt{2}$。此时数量积恒为 $-1/2$。所以所求点存在，且