易混 2024 年吉林预赛 · P006524
两题都有从原点出发的垂直方向，但怎样转成可用代数条件取决于图形结构。矩形的第三顶点是两边向量之和，可展开椭圆二次型；圆切线上的两交点则可用切向参数把点积化成根积。
欧氏内积与椭圆二次型的交叉项不是同一个量；一题最后联系面积行列式，另一题利用根积约束确定椭圆必须经过的点。
培玉 · 一试
2025 年北京预赛
椭圆上内接矩形的面积
F3填空题椭圆
已知 为原点，矩形 的三个顶点 均在椭圆
上，则矩形 的面积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把椭圆写成二次型。
思路
矩形的两条邻边向量在欧氏内积下正交，而三个非原点顶点都在椭圆上又固定了它们在椭圆二次型下的 Gram 矩阵。
解答
令
矩形中 ，且 。三个点都在椭圆上，故
于是
设 ，则
另一方面，
正是矩形面积，故
复核
行列式只确定面积平方，最后取正平方根；矩形退化时不可能有三个不同顶点同时满足题设，故面积为正。
方法总结
二次曲线上的平行四边形或矩形问题，可把顶点条件写成二次型 Gram 矩阵，再用行列式同时联系线性变换和面积。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
把椭圆缩成单位圆后，A、C与其和B均为单位向量，夹角被定为120度，故平行四边形面积确定再乘伸缩因子即可。
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