2015 年辽宁预赛 · 第 12 题

复核

焦点 $F_2$ 在弦 $AB$ 内部，且由椭圆定义

得 $A{F}_2-B{F}_2=2$，故 $A{F}_2=3,B{F}_2=1$。又 $A{F}_1^2+A{B}^2=B{F}_1^2$，所以 $A{F}_1\perp AB$。置 $\alpha =\angle A{F}_1{F}_2,\beta =\angle A{F}_{1}B$，则 $\tan \alpha =3/3=1$，$\tan \beta =4/3$，且 $0<\alpha <\beta <\pi /2$。于是

构型确实存在：取 $A=(0,0),B=(4,0),F_1=(0,3),F_2=(3,0)$，共同焦半径和为6，大于两焦点距离 $3\sqrt{2}$，给出合法椭圆。