2009 年黑龙江预赛 · 第 16 题

解答

设椭圆长半轴为 $a$，$F_1{F}_2=d=2ae>0$，并记 $P{F}_1=u,P{F}_2=v$。 由椭圆定义及题设，$u+v=2a=d/e$，$u=ev$，所以

作 $PH\perp F_1{F}_2$，$H$ 为垂足。抛物线以 $F_1$ 为顶点、$F_2$ 为焦点，其准线 $l$ 在 $F_1$ 的背向 $F_2$ 一侧，距 $F_1$ 为 $d$。 作 $PK\perp l$。按抛物线定义，$PK=P{F}_2=v$；抛物线在顶点面向焦点的一侧，故令 $h=F_{1}H\ge 0$，有 $v=d+h$。 由勾股定理（$H$ 即使在 $F_2$ 外侧，以下平方关系仍成立），

代入 $u=ev$ 和(1)，并除以 $d^2>0$，得

故 $\boxed{e=\sqrt{3}/3}$。