2011 年河北预赛 · 第 2 题

解答

所求四位数在一千与二千一百一十之间，故 $x>y\ge 1$。若 $x\ge 6$，则

其中相邻五次幂差随正整数 $x$ 递增。若 $x\le 3$，差至多 $3^5-1=242$，不足四位，所以只须 $x=4,5$。 $x=4$ 时只有 $y=1$ 可达四位，但差为一千零二十三，数码不合；其余 $y$ 使差不超过九百九十二。$x=5$ 时，$y=1,2,3$ 的差分别为三千一百二十四、三千零九十三、二千八百八十二，均过大；$y=4$ 得 $5^5-4^5=2101$，数码恰合。因此全部四位数为 $\boxed{2101}$。