2015 年辽宁预赛 · 第 14 题

F4解答题平面几何综合

（20 分）如图，直角三角形 $A BC$ 外接圆圆心为 $O$ ， $∠ C = 9 0^{\circ}$ ，过 $C$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $D$ 。作圆 $O_{1}$ 分别切弧 $BC$ 、边 $C D$ 、 $D B$ 于 $E, F, G$ ；同样作圆 $O_{2}$ 与弧 $A C$ 、边 $C D$ 、 $D A$ 相切。设圆 $O_{1}$ 半径为 $r_{1}$ ，圆 $O_{2}$ 半径为 $r_{2}$ ， $△ A BC$ 内切圆半径为 $r$ ，证明： $r = \frac{r _{1} + r _{2}}{2}$ 。