2017 年中科大少年班初试 · 第 4 题

解答

令 $u=(\sqrt{2}x-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$、$v=u+(\sqrt{2},\sqrt{2})$。目标为 $|u|-|v|$，由三角不等式不小于负二，在 $x=1$ 处达到。记 $A=2x^2-2x+1,B=2x^2+2x+5$。若 $x\ge -1$，则 $A\le B$，目标非正；若 $x<-1$，目标为正，而 $AB-(2x^2+2{)}^2=1-8x>0$，故目标平方 $A+B-2\sqrt{AB}<2$。所以总有目标小于 $\sqrt{2}$。又在 $x$ 趋于负无穷时，有理化可得极限 $\sqrt{2}$；由连续性与最低点，全部取值为 $\boxed{[-2,\sqrt{2})}$。