2013 年湖北预赛 · 第 8 题

解答

记 $S=[ABC]$，$h$ 为 $P$ 到平面 $ABC$ 的距离，取 $BC$ 的中点 $D$。 因为 $K$ 是 $△PBC$ 的重心，$K\in PD$ 且 $DK/DP=1/3$， 故 $K$ 到底面 $ABC$ 的距离为 $h/3$。

令 $u=AM/AB$、$v=AN/AC$。直线 $MN$ 经过三角形的内点 $G$ 并交两边， 故 $u,v>0$。由同角三角形面积比，$[AMN]=uvS$。 重心到边 $AB$、$AC$ 的距离分别是相应顶点到底边距离的 $1/3$，所以

由于 $G$ 在线段 $MN$ 上，两面积相加得

再由 $u+v\ge 2\sqrt{uv}$，得到 $uv\ge 4/9$。因此

当且仅当 $u=v=2/3$ 时取等号：此时取过 $G$ 且平行于 $BC$ 的直线为 $MN$， 它与两边均交于内部点，所得四棱锥不退化，故所求最大值为 $\boxed{\frac{5}{27}}$。