2016 年黑龙江预赛 · 第 19 题

解答

取 $A=(0,0,0),B=(2,0,0),C=(1,\sqrt{3},0),D=(-1,\sqrt{3},0),P=(0,0,h)$，其中 $h>0$。平面 $PAD$ 法向量为 $(\sqrt{3},1,0)$，所以 $\sin \angle (PC,PAD)=\sqrt{3}/\sqrt{4+h^2}=\sqrt{6}/4$，得 $h=2$。$E=(1,0,0)$，平面 $PEC$ 为 $2x+z=2$。设 $F=P+t(D-P)$，方向 $AF$ 与该面平行当且仅当 $2-4t=0$，即 $\boxed{F\text{ 为 }PD\text{ 中点}}$；$A$ 不在该面，故确为平行。第二问取交棱方向 $v=(1,0,-2)$，将 $PA,PD$ 投影到垂轴平面，得到指向相应半平面的向量 $u_A=(-4/5,0,-2/5)$、$u_D=(-8/5,\sqrt{3},-4/5)$。它们点积为 $8/5$，长度分别为 $\sqrt{4/5},\sqrt{31/5}$，故 $\boxed{\cos \angle (D-PE-A)=4/\sqrt{31}}$。