培玉 · 一试
2014 年山西预赛 · 第 5 题
F2填空题函数综合
设对一切实数 ，函数 满足 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
将目标输入按反射送到另一个输入，再将反射后的输入代回，两个未知函数值即可闭环联立。
解答
令 ，由原式分别取 ，得到
消元得 ，因此 。
复核
全域关系也一致：函数 的分母恒正，代入 与 可直接核 ；其在五处的值为 。因此没有只从局部方程得到与全域条件矛盾的数。
方法总结
带反射输入的函数方程可沿两个点组成闭环。局部求值先联立，必要时通过全域候选反验存在性与分母条件。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
反射输入形成两元线性方程，求指定点值并可在全定义域反验一致性。
已记下，谢谢！