2011 年湖南预赛 · 第 12 题

解答

固定整数 $k>1$，记 $c=k^2+k$。这 $2k+1$ 个分母的平均为 $c$，由柯西不等式得 $a_k\ge (2k+1)/c>2/(k+1)$。另一方面，将分母 $k^2+j$ 与 $k^2+2k-j$ 配对。两者之和固定，乘积不小于 $k^2(k^2+2k)$，故每对倒数和不大于端点倒数和。全部配对求和得 $a_k\le (2k+1)(k+1)/[k^2(k+2)]<2/k$，最后严格性等价于 $k>1$。因此 $a_{2010}>2/2011$ 且 $a_{2011}<2/2011$。各数均正，取倒数后得到 $\boxed{2/a_{2010}<2011<2/a_{2011}}$，即所需区间关系。