2011 年安徽预赛 · 第 1 题

解答

下面给出证明与取等构造。对两个并集使用容斥原理，注意其交集为 $B\cup (A\cap C)$，得到

又 $A\cup C\subseteq A\cup B\cup C$，所以 $50\ge 40+|B|$，即 $|B|\le 10$。 由于 $A\cap B\cap C\subseteq B$，所求三重交至多有 $10$ 个元素。

取两两不交的有限集合 $U,V,W$，使 $|U|=10,|V|=10,|W|=20$，并令

此时三个并集的基数依次为 $20,30,40$，且 $A\cap B\cap C=U$ 有 $10$ 个元素。 所以上界可达，答案为 $\boxed{10}$。