培玉 · 一试

专题地图 › 复数的三角形式与指数形式

2025 年北京预赛

单位模虚根与幂指数同余

F3填空题复数的三角形式与指数形式

关于 $z$ 的方程

z^{n + 1} - 3 z^{n} - 1 = 0

存在一个模为 $1$ 的虚根，则正整数 $n$ 的最小值是。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

模约束先把根限制到±π/6，再用乘积的辐角精确配平得到n模12条件，不能只在单位圆上数交点。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：复数幂和商：模与辐角分开算

专题卡：高次方程有模已知的根：先取模定点，再代回、高次幂和幂的和：模单独算，方向按周期算